The Connection between Continuum Mechanics and Riemannian Geometry

Abstract

We investigate the systems of quasi-linear partial differential equations of hydrody- namic type. These equations occur mainly in hydrodynamics and continuum mechanics, but they arise in other various applications. In the study of such systems, one finds an intersection of Poisson and pseudo-Riemannian geometry. The Poisson bracket is deter- mined by functions that turn out to be metrics and Christoffel symbols. If the metric is non-degenerate, the existence of Poisson structure is equivalent to the existence of flat metric and Levi-Civita covariant derivative with zero curvature. Moreover, one can find special flat coordinates where the bracket is trivial. This result was found in the eighties by Dubrovin and Novikov for the one-dimensional case and later on extended to more dimensions. In this thesis we provide the proof of the Dubrovin-Novikov theorem, which was only sketched in the original paper. We also conducted an overview of current knowledge in the multi-dimensional case, where the theory gets much more complicated. In particular, the link between the compatible brackets and the possibility of finding flat coordinates is discussed. The Riemannian character of the Hamiltonian equations of hydrodynamic type can be used to prove their symmetric hyperbolicity, even when the equations are not in the...

Zabýváme se systémy kvazilineárních parciálních diferenciálních rovnic hydrodynam- ického typu. Tyto rovnice se nejčastěji objevují v hydrodynamice a mechanice kon- tinua, ale jsou aplikovatelné i jinde. Při studiu těchto systémů se objevuje průnik pois- sonovské a riemannovské geometrie. Poissonova závorka je dána funkcemi, které mají strukturu metrik a Christoffelových symbolů. Jestliže je metrika nedegenerovaná, exis- tence Poissonovy struktury je ekvivalentní existenci ploché metriky a Levi-Civitovy ko- variantní derivace s nulovou křivostí. Navíc lze nalézt speciální souřadnice, ve kterých je závorka triviální. Tento výsledek pochází z osmdesátých let z prací Dubrovina a Novikova pro jednodimenzionální případ a později byl rozšířen do více dimenzí. V této práci poskytujeme důkaz Dubrovinova-Novikova teorému, který je v původním článku pouze naznačen. Předkládáme také přehled současných výsledků v multidimenzionálním pří- padě, kde se teorie mnohem více komplikuje. Konkrétně, rozebíráme možnost nalezení plochých souřadnic v souvislosti s kompatibilitou závorek. Riemmanovský charakter hamiltonovských rovnic hydrodynamického typu by mohl najít využití při důkazu sy- metrické hyperbolicity, i přestože se rovnice nedají zapsat v konzervativním tvaru. 1