Supersymmetric Quantum Mechanics meets Topology

Abstract

In the first part of this thesis, we will try to get familiar with some of the concepts of supersymmetry (SUSY), starting from the zero-dimensional Quantum Field Theory and apply these concepts to a toy model of (0+1) dimensional QFT otherwise known as Quantum Mechanics. Methods explored in this thesis allow for the computation of path integrals, mainly the partition function and its modification, the Witten Index, which "counts" the difference between bosonic and fermionic states of the SUSY model used. The second part will focus on how this is related to the topology, more precisely the topological invariants, of the manifold (target space). The model in question will be a particular supersymmetric sigma model (σ-model), where the Witten Index is related to the Euler Characteristic. These techniques can be further extended to higher dimensional QFTs or different topological invariants. 1

V prvej časti tejto práce, sa budeme snažiť zoznámiť s niektorými konceptami su- persymetrie (SUSY), začínajúc v nula dimenzionálnej Kvantovej Teórii Poľa (QFT) a následným aplikovaním týchto konceptov v "toy" modeli (0+1) dimenzionálneho QFT, taktiež zvaného Kvantová Mechanika. Metódy skúmané v tejto práci umožňujú výpočet dráhových integrálov, zmena partičnej funkcie a jej modifikácie, Wittenovho Indexu, ktorý "počíta" rozdiel medzi bozónovými a fermiónovými základnými stavmi použitého SUSY modelu. Druhá časť sa bude zaoberať ako to všetko súvisí s topológiou, presnejšie topologick- ými invariantmi, variety (cieľového priestoru) a ako priestor na odvodenie Chern-Gauss- Bonnet teorému. Rozoberaný model bude konkrétny supersymetrický sigma model (σ- model), v ktorom má Wittenov Index vzťah s Eulerovou Charakteristikou. Tieto techniky môžu byť rozšírené do vyššie dimenzionálnych QFT alebo na iné topologické invarianty. 1