Counting operators in Effective Field Theories

Abstract

When applying physical calculations to the real world, it is always necessary to make some approximations. In the context of field theories, in particular the quantum field theories used in particle physics, a systematic treatment of this problem is provided by the framework of Effective Field Theories. Working in a given energy range, it is enough to consider only a couple of particles, while the existence of the rest only contributes some corrections. This is reflected in the structure of Effective Field Theory Lagrangians given as perturbation series, which are in general composed of all possible operators consistent with locality, unitarity, and symmetry assumptions. Obviously, it is advantageous to work with a minimal set of operators covering all physical phenomena, however the construction of the operator basis is very hard in general. Simpler step is to at least count all independent operators with a given number of derivatives and particle fields. To this end, the generating function (termed the Hilbert series) is introduced, with coefficients precisely being the number of independent operators of a given type. One can consider only scalar operators, that is Lorentz and gauge invariant operators, moreover consistent with other additional symmetries. To count independent operators it is furthermore...

Pri aplikácií fyzikálnych výpočtov v reálnom svete musíme vždy pristúpiť k istým aproximáciám. V kontexte poľných teórií, konkrétne v kvantových teóriách poľa používaných v časticovej fyzike, systematické riešenie tohto problému je poskytované v rámci takzvaných efektívnych teóriách poľa. Pri práci v danom energetickom rozsahu je postačujúce uvažovať iba niekoľko častíc, pričom existencia zvyšných prispieva iba istými korekciami. To sa odráža v Lagrangiánoch pre efektívne teórie poľa, ktoré sú tak dané porucho- vým rozvojom zloženým vo všeobecnosti zo všetkých dovolených operátorov konzistentných s lokalitou, unitaritou a predpokladmi o symetrii. Očividne je výhodné pracovať s najmenšou množinou operátorov pokrývajúcou všetky fy- zikálne javy, nanešťastie vytvorenie tejto operátorovej bázy je vo všeobecnosti veľmi zložité. Jednoduchší krok je aspoň spočítať všetky nezávislé operátory obsahujúce daný počet derivácií a časticových polí. Na tento účel je zavedená generujúca funkcia (nazývaná ako Hilbertova rada), ktorej koeficienty sú presné počty nezávislých operátorov daného typu. Je možné uvažovať len skalárne operátory, to znamená invariantné voči Lorentzovej a kalibračnej grupe, a navyše musia byť konzistentné s ďalšími dodatočnými symetriami. Na spočítanie nezávislých operátorov je navyše potrebné...