Toric varieties and their applications

Abstract

The thesis provides an introduction into the theory of affine and abstract toric vari- eties. In the first chapter, tools from algebraic geometry indispensable for the compre- hension of the topic are introduced. Many properties of convex polyhedral cones and affine toric varieties are proven and discussed in detail as is the deep connection between the two objects. The second chapter establishes the notion of an abstract variety and translates obtained results to this more general setting, giving birth to the theory of abstract toric varieties and the closely associated theory of fans. Finally, an algorithmic approach to the resolution of singularities on toric surfaces and its relation to continued fractions is revealed. 1

Práce poskytuje úvod do teorie afinních torických variet a abstraktních torických variet. V první kapitole jsou uvedeny nástroje algebraické geometrie nezbytné pro poro- zumění tématu. Mnoho vlastností konvexních polyhedrálních kuželů a afinních torických variet je dokázáno a detailně prodiskutováno, stejně jako i hluboká vzájemná závislost těchto objektů. Druhá kapitola zpracovává koncept abstraktní variety a převádí již zís- kané výsledky do tohoto obecnějšího prostředí, dávajíc tak vzniknout teorii abstraktních torických variet a úzce spjaté teorii vějířů. Nakonec je odhalen algoritmický přístup k odstraňování singularit na torických površích a jejich vztah k řetězovým zlomkům. 1