Stručný úvod do teorie množin pro středoškoláky

Abstract

This thesis gives an explanation of the basic concepts of set theory, focusing primarily on high school students interested in mathematics. The text of the thesis is di- vided into six chapters. The first chapter provides a historical context, mainly explaining the development of the term "infinity" and the reasons for the establishment of axiomatic set theory. The second chapter reminds the reader of propositional logic and gives a sim- plified explanation of predicate calculus. Main focus of this chapter is on the explanation of working with logical quantifiers. The third chapter deals with the Zermelo-Fraenkel set theory axioms and some basic properties about sets they imply. Chapter Four separately introduces relations and related terminology, especially mappings and their properties. The penultimate chapter shows how to establish natural numbers using sets. In its in- troductory part, it is concisely presented a method of such establishment by means of Peano axioms. Further on, the knowledge concerning relations are extended along with the definition of ordering and ordered sets, and some basic properties of natural numbers in context of the described establishment are proved. The last chapter is devoted to the problem of comparing infinite sets. The idea of Hilbert hotel, comparison of sets...

Práce poskytuje vysvětlení základních konceptů z oblasti teorie množin se zaměřením především na studenty středních škol se zájmem o matematiku. Práce je čle- něna do celkem šesti kapitol. První kapitola poskytuje historický kontext, kde je vysvětlen vývoj pojmu "nekonečno" a důvody pro vznik axiomatické teorie množin. Druhá kapi- tola připomíná základní pojmy z výrokové logiky a zjednodušeně představuje koncept predikátového počtu. Pozornost je hlavně věnována práci s kvantifikátory. Třetí kapitola se zabývá axiomy Zermelovy-Fraenkolovy teorie množin a základními poznatky z nich vyplývajících. Kapitola čtvrtá je samostatně věnována zavedení relací a souvisejícím ter- mínům, především pak zobrazením a jejich vlastnostem. V páté kapitole je ukázán způsob zavedení přirozených čísel pomocí množin. Úvodem je stručně prezentován způsob zave- dení pomocí Peanových axiomů. Dále jsou rozšířeny znalosti o relacích, je definována relace uspořádání společně s uspořádanou množinou a jsou dokázány některé základní vlastnosti přirozených čísel při popsaném zavedení. Poslední kapitola se věnuje proble- matice porovnávání nekonečných množin. Je zde vysvětlena myšlenka Hilbertova hotelu, porovnávání pomocí zobrazení a především je prezentováno užití Cantorovy diagonální metody. V závěru jsou zavedeny termíny...