Steinova metoda pro normální aproximaci reálných náhodných veličin

Abstract

The Stein's method is a collection of probabilistic techniques for answering the ques- tion as to how far the probability distributions of random variables are from each other. This thesis only concerns the basics of the approach. We use the Kolmogorov distance and the total variation distance to formalize the concept of the distance between mea- sures. We focus on the normal distribution for which we first find a suitable differential operator, often called Stein operator, that bears much information. Not only does it charactize the Gaussian measure, it also gives us a means to quantify the distance from another random variable's distribution. Finally, we apply the method to prove the clas- sic Berry-Esseen inequality for a sum of independent and identically distributed random variables. 1

Steinova metoda je soubor pravděpodobnostních technik pro odpověď na otázku, jak daleko jsou od sebe vzdálená rozdělení dvou náhodných veličin. V této práci se zabýváme základy tohoto přístupu. Pro měření vzdálenosti pravděpodobnostních měr používáme Kolomogorovu metriku a vzdálenost v totální variaci, které jsou formálně zavedeny v první kapitole. Dále se zaměřujeme na použití Steinovy metody pro normální rozdělení. Nejdříve pro Gaussovu míru nalezneme diferenciální operátor, který nejenom charakteri- zuje normální rozdělení, ale také ho lze použít pro kvantifikování hledané vzdálenosti od rozdělení jiné veličiny. Nakonec Steinovu metodu použijeme pro důkaz Berry-Esseenovy nerovnosti pro součet nezávislých a stejně rozdělených veličin. 1