Moufangové rovina a spinové grupy

Abstract

In this thesis we consider the action of the exceptional simple Lie group F4 on the so called (real) Moufang plane OP2 R. The goal of this thesis is to present a proof of the transitivity of this action, which is as complete as possible. We first define related concepts such as Clifford algebras, the groups Pin(r, s) and Spin(r, s) and the algebra of octonions O, and we prove their basic properties. The group F4 is defined as the automorphism group of the algebra J3(O) of hermitian octonionic matrices of order three. The Moufang plane is defined as a suitable subset of J3(O). In the group F4 we find isomorphic copies of the groups Spin(0, 8) and Spin(0, 9). By applying certain auxilliary results from the previous chapters we obtain the desired proof of the transitivity of the action of F4 on OP2 R. 1

Tato práce se zabývá působením výjimečné jednoduché Lieovy grupy F4 na tzv. (re- álné) Moufangové rovině OP2 R. Cílem práce je podat co nejúplnější důkaz tranzitivnosti tohoto působení. Nejprve jsou definovány související pojmy, jako jsou Cliffordovy alge- bry, grupy Pin(r, s) a Spin(r, s) a algebra oktonionů O, a jsou dokázány jejich základní vlastnosti. Grupu F4 definujeme jako grupu automorfismů algebry J3(O) hermitovských oktonionových matic řádu tři. Moufangové rovinu definujeme jako vhodnou podmno- žinu J3(O). V grupě F4 nalezneme izomorfní kopie grup Spin(0, 8) a Spin(0, 9). Pomocí vhodných výsledků z předchozích kapitol dospějeme ke kýženému důkazu tranzitivnosti působení F4 na OP2 R. 1