Rovnice vedení tepla s dynamickými okrajovými podmínkami

Abstract

In this thesis we deal with the solution of the heat equation with a dynamic boundary condition, which relates the time derivative at the boundary and the normal flow at the boundary. We first deal with the derivation of this dynamic boundary condition and its physical interpretation. Furthermore, we solve problems in one spacial dimension, where we learn the necessary techniques, which we will then use in solving more complex two-dimensional problems on a square, an annulus and a circle. We proceed using the Fourier method. We convert the problem to finding eigenvalues and eigenfunctions of the Laplace operator, which satisfy a special boundary condition. We use the results from articles that say that such constructed eigenfunctions form a complete system in a suitable space of functions and so we are able to construct a general solution as their superposition.

V této práci se budeme věnovat řešení rovnice vedení tepla s dynamickou okrajovou podmínkou, která dává do vztahu časovou derivaci na hranici a normálový tok na hranici. Nejprve se budeme zabývat odvozením této dynamické okrajové podmínky a její fyzikální interpretací. Dále budeme řešit problémy v jedné dimenzi, kde si osvojíme potřebné techniky, které dále využijeme v řešení obtížnějších dvoudimenzionálních úloh na čtverci, mezikruží a kruhu. Budeme postupovat pomocí Fourierovy metody. Úlohu převedeme na hledání vlastních čísel a vlastních funkcí Laplaceova operátoru, které splňují speciální okrajovou podmínku. Využijeme výsledků z odborných článků, které říkají, že takto sestrojené vlastní funkce tvoří úplný systém ve vhodném prostoru funkcí a tak budeme moci sestrojit obecné řešení jako jejich superpozici.