Subfields of number field extensions and quadratic forms

Abstract

A number of recent results give constructions of totally real number fields of specific degrees that do not admit universal quadratic forms of small rank. Given a totally real number field L that is known to have a certain lower bound on the rank of universal quadratic forms, one may try to construct extensions of L that also satisfy this bound. In this thesis, we present a way of constructing such an extension as the compositum of L and some suitable number field K. The construction relies on inequalities involving traces and discriminants in number fields and controlling the subfields of KL using Galois correspondence, which then leads to examining subgroups in direct products of groups. 1

Jisté nedávné výsledky předkládají konstrukce totálně reálných číselných těles specific- kých stupňů, v nichž neexistují univerzální kvadratické formy malého počtu proměnných. S daným totálně reálným číselným tělesem L, u něhož je znám dolní odhad na počet pro- měnných univerzální kvadratické formy, se lze pokusit konstruovat rozšíření L, jež také splní tento odhad. V této práci představíme způsob, jak takové rozšíření konstruovat jako kompozitum L s dalším vhodně zvoleným číselným tělesem K. Tato konstrukce vyu- žívá nerovností stop a diskriminantů v číselných tělesech a omezení podtěles KL pomocí Galoisovy korespondence, což vede ke zkoumání podgrup direktních součinů grup. 1