Arithmetics of number fields and generalized continued fractions

Abstract

This thesis focuses on additively indecomposable integers in totally real number fields and their application in the study of universal quadratic forms. For the determination of such elements, we develop two different methods, which are based on their geometrical properties and multidimensional continued fractions, especially on the so-called Jacobi- Perron algorithm. In particular, we are interested in quadratic, biquadratic, and cubic number fields. For them, we provide several new results on the number of variables of their universal quadratic forms and the structure, norms, and minimal traces of their indecomposable integers. One part is also devoted to the related question of the so-called Pythagoras number, where we use our results on indecomposable integers. 1

Tato práce se zaměřuje na aditivně nerozložitelné prvky v totálně reálných číselných tělesech a na jejich použití při studiu univerzálních kvadratických forem. Pro určení takových prvků jsme vytvořili dvě různé metody, které jsou založeny na jejich geomet- rických vlastnostech a na vícerozměrných řetězových zlomcích, speciálně na takzvaném Jacobi-Perronově algoritmu. Zejména se zajímáme o kvadratická, bikvadratická a ku- bická číselná tělesa. Pro ně uvádíme několik nových výsledků ohledně počtu proměnných jejich univerzálních kvadratických forem a o struktuře, normách a minimálních stopách jejich nerozložitelných prvků. Jedna část se také věnuje související otázce takzvaného Pythagorova čísla, kde používáme naše výsledky ohledně nerozložitelných prvků. 1