R-projectivity

Abstract

A module over a ring R is R-projective if it is projective relative to R. This module- theoretic notion is dual to the notion of an R-injective module that plays a key role in the classic Baer's Criterion for Injectivity. This Thesis is concerned with the validity of dual version of Baer's Criterion. It also introduces a concept of projectivity in a general category-theoretic setting. DBC is known to hold for all perfect rings. However, DBC either fails or it is undecid- able in ZFC for non-perfect rings. In this Thesis we deal with the subclass of non-perfect rings, which are small, regular, semiartinian and have primitive factors artinian. Trlifaj showed that there is an extension of ZFC in which DBC holds for such rings. Especially, it is enough to consider extension of ZFC in which the weak version of Jensen's Diamond Principle holds. This combinatorial principle is known as the Weak Diamond Principle. Apart from an overview of the properties of rings mentioned above and introduction of the necessary set-theoretic notions, the Thesis also contains a proof of this new result by Trlifaj published in the paper "Weak diamond, weak projectivity, and transfinite extensions of simple artinian rings" in the J. Algebra in 2022. 1

R-projektivním je nazýván modul nad okruhem R, jestliže je relativně projektivní vzhledem k R. Tento pojem z teorie modulů je duální k pojmu R-injektivity, jež hraje klíčovou roli v klasickém Baerově kritériu injektivity. Tato práce se zaobírá otázkou, zda platí duální verze Baerova kritéria (DBC), přičemž poskytuje úvod k vlastnosti projekti- vity obecně, jakožto vlastnosti kategorické. Je známo, že nad perfektními okruhy, DBC platí, zatímco nad neperfektními je DBC buď nezávislé na ZFC, nebo neplatí. V této práci budeme věnovat pozornost třídě ne- perfektních okruhů, tvořené malými regulárními semiartinovskými okruhy, které mají primitivní faktory artinovské, pro niž nedávno Trlifaj ukázal, že existuje rozšíření modelu ZFC, v němž DBC platí. Konkrétně stačí uvažovat model, v němž platí oslabení Jensenova diamantového principu, takzvaný slabý diamant. Kromě přehledu právě vyjmenovaných okruhových vlastností a potřebných množinově teoretických pojmů práce předvádí důkaz zmíněného nedávného Trlifajova výsledku pu- blikovaného v článku "Weak diamond, weak projectivity, and transfinite extensions of simple artinian rings" v J. Algebra v roce 2022. 1