Spectral collocation methods in solid mechanics

Abstract

Spectral collocation methods are advertised as a powerful tool for a numerical so- lution of boundary value problems for ordinary as well as partial differential equations. The methods are based on a polynomial approximation, typically using Chebyshev poly- nomials. In one-dimensional setting, the properties of the methods are well known, and there exist several software packages implementing the methods. Our goal is to assess the applicability of spectral collocation methods in solving two-dimensional boundary value problems. We solve a classical problem in linearised two-dimensional elasticity, namely the deflection of a semi-infinite elastic medium subject to a surface load. The numerical results are compared to the analytical solution, which allows us to evaluate the performance of the given numerical method in solving boundary value problems in linearised elasticity. 1

Spektrální metody jsou inzerovány jako výkonný nástroj pro určení numerických řešení okrajových úloh pro obyčejné a parciální diferenciální rovnice. Metody jsou za- loženy na polynomiální aproximaci, typicky pomocí Čebyševových polynomů. Vlastnosti metod jsou dobře známé v jedné dimenzi a existuje několik softwarových balíků k im- plementaci metod. Naším cílem je posoudit použitelnost spektrálních metod v řešení dvourozměrných okrajových úloh. Řešíme klasický problém v linearizované dvourozměrné elasticitě, a to průhyb polonekonečného elastického prostředí při povrchovém zatížení. Numerické výsledky jsou pak porovnány s analytickým řešením, což umožňuje vyhod- notit výkonnost numerických metod při řešení okrajových úloh v linearizované elasticitě. 1