Simple oscillatory flows of fluids with general boundary conditions

Abstract

In mathematical models of a blood flow it is often a key role to choose appropriate boundary conditions imposed on the system of partial differential equations. Our aim is to investigate the oscillatory Hagen-Poiseuille flow in infinite pipe with Navier's slip condition on the boundary. Obtained velocity profiles can be then used as an inflow condition for numerical solutions of oscillatory flow in a finite pipe, where slip at the boundary is allowed. At first we recall the analytical solution for steady Hagen-Poiseuille flow in an infinite pipe with Navier's slip boundary condition. By replacing the constant pressure gradient with time periodic pressure gradient we get oscillatory Hagen-Poiseuille flow, where we derive in detail known analytical solution with respect to the no-slip boundary condition. Our contribution is in deriving analytical solution when considering the Navier's slip boundary condition, for which we show the velocity profiles and phase lag between the pressure gradient and the fluid's response. 1

V matematických modelech proudění krve hraje často klíčovou roli volba vhodných okrajových podmínek kladených na systém parciálních diferenciálních rovnic. Naším cílem je zkoumat oscilační Hagen-Poiseuillovo proudění v nekonečné trubici kruhového průřezu s Navierovou podmínkou skluzu na hranici. Získané rychlostní profily pak lze použít jako vstupní podmínku pro numerické řešení oscilačního proudění v konečné trubici, kde je povolen skluz na hranici. Nejdříve připomeneme analytické řešení pro stacionární Hagen-Poiseuillovo proudění v nekonečném potrubí s Navierovou podmínkou skluzu na hranici. Nahrazením konstantního tlakového gradientu časově periodickým tlakovým gradientem získáme oscilační Hagen-Poiseuillovo proudění, kde podrobně odvodíme známé analytické řešení pro okrajovou podmínku bez skluzu. Naším příspěvkem je odvození analytického řešení oscilačního Hagen-Poiseuillova proudění při uvážení Navierovy skluzové okrajové podmínky, pro které ukážeme rychlostní profily a fázové zpoždění mezi tlakovým gradientem a odezvou tekutiny. 1