Obálky implicitních ploch

Abstract

V této práci studujeme obálky a charakteristické křivky jednoparametrických systémů kvadratických ploch v reálném trojdimenzionálním prostoru. Definujeme jednoparamet- rické systémy a jejich obálky obecně a představíme metody algebraické geometrie pro výpočet obálek, které využívají Gröbnerovy báze a eliminační teorii. Za pomoci duálních prostorů a rozličných modelů Laguerrovské geometrie představíme důkaz faktu, že obálky racionálních jednoparametrických systémů sfér, rotačních kuželů a válců, jsou racionální plochy. Dále představíme nový úhel pohledu na jednoparametrické systémy jako na křivky v homogenních prostorech. To nám dovolí studovat charakteristické křivky systému jako křivky ležící na jediné, často jednodušší ploše. Díky tomuto přístupu prezentujeme nový důkaz racionality obálek jednoparametrických systémů isometrických kuželů a ukázeme explicitní parametrizaci této obálky a charakteristických křivek. Známé i nové metody ilustrujeme na mnoha nových příkladech. 1

The aim of the thesis is to study envelopes and characteristic curves of one parameter systems of quadratic surfaces in real three dimensional space. We define one parameter systems and their envelopes generally and present algebraic geometry approach for en- velope computation using Gröbner bases and elimination theory. We convey a proof of rationality of envelopes of rational one parameter systems of spheres, cones and cylin- ders of revolution using dual space and different models of Laguerre geometry. Then we present a new approach to one parameter systems and their envelopes. We introduce the systems as curves in homogeneous spaces which allows us to study all characteristic curves at a single surface. This approach allows us to prove rationality and even provide an explicit parameterization of characteristic curves and the envelope of a one parameter system of isometric cones of revolution. We provide several other examples illustrating the concepts and results. 1