Variants of Reed-Solomon codes over other algebraic structures

Abstract

Reed-Solomonovy kódy tvoří známou rodinu samoopravných kódů s mnoha dobrými vlastnostmi. Tyto kódy však pro svou funkčnost vyžadují konečné těleso, které omezuje velikost abecedy na mocniny prvočísel. V této práci jsme sestavili slabší algebraickou strukturu, jenž dovoluje použít abecedu libovolné celočíselné velikosti a stačí ji stan- dardní sčítání, násobení a dělení. Následně jsme zkoumali rodinu samoopravných kódů založenou na maticovém násobení v této struktuře. Také jsme naroubovali princip Reed- Solomonových kódů na tuto rodinu kódů a zkoumali jsme vlastnosti výsledných kódů. Dokázali jsme a experimentálně jsme ověřili, že zatímco náhodný kód z této rodiny má vysokou vzdálenost, adaptace Reed-Solomonových kódů nedosahuje dobrých vlastností. 1

Reed-Solomon codes are a well known family of error-correcting codes with many good properties. However, they require a finite field to operate, limiting the alphabet size to a prime power. In this work, we build a weaker algebraic structure which supports alphabet of any integer size and requires only standard addition, multiplication and division to implement. Then we study a family of error-correcting codes based on matrix multiplication over this structure. We also adapt the Reed-Solomon code principle on this code family and study its properties. We prove and verify experimentally that while a random code of this family has high distance, the Reed-Solomon adaptation fails to perform well. 1