Option pricing. The methodological retrospection and the ampirical tests of the Black-Scholes pricing formula and feed-forward networks

Abstract

Od pověstného vzorce Blacka, Scholesa a Mertona byl v teorii oceňování opcí učiněn značný pokrok. V první části práce shrnujeme tento vývoj a poskytujeme čtenáři souhrnný metodologický předhled modelů oceňování Evropských opcí. Ve druhé části vyhodnocujeme rozdíl mezi jednoduchým, ale revolučním, Black Scholesovým modelem a jedním se složitějších modelů - neuronovými sitěmi. K testování používáme Evropské call a put opce na index S&P 500 v období od 1.6.2006 do 8.6.2007. Naše výsledky pro call opce ukazují, že Black-Scholesův model s historickou volatilitou a volatilitou implikovanou opcemi na penězích obecně vykazuje lepší výsledky než jednoduché "feed-forward" neuronové sítě. Na druhé straně výkon neuronových sítí se zlepšuje když je opce hluboko v penězích a když rostou dny do expirace v srovnání se snižujícím se výkonem Black- Scholesova modelu. Neuronové sítě tak vykazují lepší výsledky pro opce, které Black- Scholesův model neumí správně ocenit. Vysvětlující síla modelů je nižší pro put opce v srovnání s call opcemi. Jelikož ceny opcí jsou reálnými indikátory očekávání trhu, tento výsledek odráží očekávání účastníků trhů o růstu trhu ve sledovaném období.

Since the famous Black, Scholes, Merton formula substantial progress has been made in the option pricing theory. We recapitulate this development in the first part of the work to provide the reader with the comprehensive methodological review of the option pricing techniques and we describe the most common issues one has to deal with in empirical application. The aim of the empirical part is to evaluate the difference between the rather simple but revolutionary Black- Scholes model and one of the more complex techniques (neural networks) on the European-style S&P Index call and put options over the period of 1.6.2006 till 8.6.2007. Our results on call options show that generally Black-Scholes model with historical and at-the-money implied volatility performs better than simple generalized feed-forward networks. On the other hand neural networks performance is improving as the option goes deep in the money and as days to expiration increase, compared to the worsening performance of the BS models. Neural networks seem to correct for the well-known Black-Scholes model moneyness and maturity biases. All models have much lower explanatory power for put options compared to calls. Since options are real indicators of the market movements we assign this fact to the expectations of the market participants...