Grupy malých řádů

Abstract

The first part of the thesis presents elementary facts and results of the theory of groups. The second part explains Sylow's subgroups theory containing, among others, formulations and proofs of the three Sylow's theorems which are important tools in analysing the structure of mainly nonabelian groups. The goal of the following part is to describe the structure of all finite groups up to order 15. Basically, there are two possible approaches to the characterization of these groups - one can either focus just on these particular groups or describe groups with order of e.g. prime power and then use the results to solve the task. The author of this thesis chooses reasonable middle ground between overly specific approach and one too complicated. As a result of this choice, the description of all finite abelian groups is included. The theory is illustrated with some demonstrative examples, with emphasis on those outside of "the pure matematics".

Po úvodním výkladu obsahujícím základní pojmy a výsledky teorie grup následuje partie o Sylowových podgrupách, mj. formulace a důkazy tří Sylowových vět, které jsou základním nástrojem k popisu struktury zejména nekomutativních grup. Další výklad je směřován k popisu všech konečných grup až do řádu 15 včetně. V zásadě existují dva odlišné přístupy k charakterizaci těchto grup - na jedné straně se lze zaměřit právě na tyto konkrétní grupy, na straně druhé lze popsat grupy, jejichž řád je např. mocninou prvočísla, a získané výsledky použít v daném případě. Tato práce se snaží o rozumný kompromis mezi oběma přístupy, tj. o jakousi zlatou střední cestu mezi přílišnou specifičností a komplikovaností. V důsledku toho pojednání zahrnuje i popis všech konečných Abelových grup. Výklad je prostoupen demonstrativními příklady, přičemž je kladen důraz na nalezení příkladů grup i z oblasti mimo čistou matematiku.