Náhodné vepsané mnohoúhelníky

Abstract

V této práci se zabýváme náhodně vepsanými mnohoúhelníky do jednotkové kružnice, konkrétně asymptotickými vlastnostmi jejich obsahu a obvodu. Vý- sledky ukazují, že jak obsah, obvod, tak i jejich střední hodnoty lze využít k apro- ximaci čísla π. Dále uvádíme několik způsobů k vylepšení rychlosti konvergence těchto aproximací. Mezi ně patří generování speciálních náhodných 2n-úhelníků společně s vhodnou kombinací obvodů a obsahů. Ve stručnosti pak uvádíme ně- které výsledky pro zobecněný d-rozměrný problém. Na závěr ověřujeme platnost zkoumaných teoretických výsledků na konkrétních experimentech implementova- ných v prostředí Matlab. 1

In this work we study randomly inscribed polygons into the unit circle, par- ticularly the asymptotic properties of their area and perimeter. The results show that area, perimeter and their expected values can be used to approximate the number π. Further we present several approaches for improving the rate of conver- gence of these approximations. Some of which are based on constructing suitable 2n-sided random polygons together with combining different areas and perime- ters. Briefly we show a couple of results for a generalized d-dimensional case. Finally we verify the validity of the studied theoretical results on specific experi- ments implemented in the Matlab environment. 1