Míchání karet a grupa Mathieu M12

Abstract

Cílem práce je prezentovat dvojí popis vysoce tranzitivní grupy M12 a srovnání těchto přístupů. Prvním z nich je reprodukce popisu M12 v kontextu míchacích grup. Při této příležitosti popisujeme míchací grupy včetně známých výsledků i otevřených problémů. Druhou zvolenou možností je nová konstrukce pomocí rozšířených ternárních Golayových kódů nad projektivní rovinou řádu 3. Tímto získáme důkaz části známého tvrzení o vztahu monomiálních automorfismů Golayových kódů a Mathieuových grup. Část textu je proto také věnována seznámení s afinními a projektivními rovinami a samoopravnými kódy. V obou případech se využívá projekce monomiálních matic nad tříprvkovým tělesem na symetrickou grupu S12 zapomínající znaménka. 1

The goal of this thesis is to present a description of a highly transitive group M12 in two different ways and a comparison of these methods. First of them is a reproduction of a construction of M12 in the context of shuffle groups. We use this opportunity to pro- vide a description of shuffle groups including known results as well as open problems. The second method of choice is a new construction based on extended ternary Golay codes over a projective plane of order 3. This also gives us a proof of a part of a well known theorem linking monomial automorphisms of Golay codes and Mathieu groups. Part of the text is therefore dedicated to an introduction to affine and projective planes and error-correcting codes. Both approaches take advantage of a projection of monomial matrices over a field of order 3 onto the symmetric group S12 given by forgetting the signs. 1