Kanonické bázy pre riešenie invariantných diferencialných rovnic

Abstract

Sférické harmoniky a sférické monogeniky sú po rade polynomiálne riešenia Laplacovej a Diracovej diferenciálnej rovnice. Tieto riešenia v R3 tvoria ireducibilnú reprezentáciu Lieovej algebry sl(2, C). Hlavný cieľ je zostrojiť ortogonálnú bázu takýchto priestorov. Bežné zaužívane metódy ako Gram-Schmidtova ortogonalizácia je zbytočne kompliko- vaná a zložitá. Ukážeme si ako zostrojiť ortogonálnu bázu jednoduchšie pomocou re- prezentačnej teórie. K popisu rotácii v R3 a R4 použijeme kvaternióny. Nakoniec takto skonštruovanú bázu vyjadríme vo sférických súradniciach. 1

Spherical harmonics and spherical monogenics are, respectively, polynomial solutions of Laplace and Dirac equations. In R3 these solutions form irreducible representations of Lie algebra sl(2, C). The main aim is to construct orthogonal bases of such spaces. The well-known procedures like Gram-Schmidt orthogonalization procedure is quite clumsy and tedious. We show how to construct orthogonal bases in an easier way using repre- sentation theory. For description of rotations in R3 and R4 we use quaternions. Finally, we express constructed bases in spherical coordinates 1