Topological properties of algebraic curves

Abstract

Tato práce si klade za cíl představit teorii o algebraických křivkách nad komplexními čísly z topologického pohledu. Hlavním výsledkem dokázaným v práci je klasická věta zvaná degree-genus formula, která tvrdí, že v projektivním případě jsou nesingulární algebraické křivky kompaktní plochy, jejichž rod závisí pouze na stupni dané křivky. Předložený důkaz je do značné míry založený na algebraické topologii. Ukážeme, že křivka působí jako nakrývající prostor pro projektivní přímku (bez konečné množiny obrazů ramifikovaných bodů), pak zvedneme vhodnou triangulaci projektivní přímky na danou křivku. Později zjistíme, jak náš výsledek souvisí s populární definicí rodu jako počtu uší připojených ke sféře. Nakonec krátce projdeme singulární křivky, kde ukážeme, že obecně na ně nelze větu degree-genus formula aplikovat. 1

The thesis aims to present a theory about algebraic curves over complex numbers from the topological perspective. The main result proved in the thesis is the classical degree-genus formula which states that in the projective setting, non-singular algebraic curves are compact surfaces whose genus depends only on the degree of the curve itself. The presented proof relies heavily on algebraic topology; it is shown that the curve acts as a covering space for the projective line (without a finite set of images of ramified points), then a suitable triangulation of a projective line is lifted to the curve. Later, we discuss how our result relates to the popular definition of genus as the number of handles attached to the sphere. Finally, we briefly go through singular curves showing that the degree-genus formula cannot, in general, be applied to them. 1