Combinatorial Algorithms for Flow Problems

Abstract

Problém multikomoditního toku (MCF) a problém K-omezeného toku (LBF) jsou dvě zobecnění problému maximálního toku. Oba problémy jdou řešit pomocí lineárního programování a aproximovat plně polynomiálními aproximačními schématy (FPTAS). Není však pro ně znám žádný algoritmus, který je zároveň 1) exaktní, 2) polynomiální a 3) kombinatorický a/nebo nepoužívající obecné metody jako lineární programování. O multikomoditním toku se někdy mluví jako o "nejsnazším problému, který nemá kombi- natorický algoritmus". V této práci shrnujeme specializované i obecné metody pro řešení obou problémů. Přinášíme dva nové kombinatorické algoritmy, první založený na metodě Frank-Wolfe pro konvexní optimalizaci (pro MCF i LBF), druhý založený na most helpful cycle cancelling (pro MCF), a dokazujeme, že v sítích s polynomiálními poptávkami oba algoritmy běží v čase poly(délka vstupu, 1/ε). Také přinášíme výsledky v polyhedrální teorii, zejména v souvislosti s kružnicemi MCF- a LBF-mnohostěnů. Na jednu stranu dokazujeme, že existence množiny zobecňující množinu kružnic sestávající se pouze z vektorů malé normy by už zaručila "skoro-exaktnost" obou algoritmů (resp. konvergenci v ‰(log 1/ε) krocích). Na druhou stranu dokazujeme existenci exponenciálně velkých kružnic pro MCF i LBF. Existence množiny zobecňující množinu kružnic jiné...

The multicommodity flow problem (MCF) and the length-bounded flow problem (LBF) are two generalisations of the maximum flow problem. Both can be solved us- ing linear programming and approximated using fully polynomial-time approximation schemes (FPTASs). However, there are no known algorithms for them that are at the same time 1) exact, 2) polynomial, and 3) combinatorial and/or not relying on general methods like linear programming. Multicommodity flow is sometimes called "the easiest problem with no combinatorial algorithm". In this thesis, we summarise problem-specific as well as general methods used to solve these problems. We propose two new combi- natorial algorithms, one based on the Frank-Wolfe method for convex optimisation (for MCF and LBF), and the other one based on most helpful cycle cancelling (for MCF), and prove that in networks with polynomial demands they both run in poly(input size, 1/ε) time. We also present some results from polyhedral theory, examining the circuits of MCF and LBF polyhedra. On the one hand, we prove that the existence of a circuit-like set consisting of vectors of small norm would make both algorithms nearly-exact (i.e., with ‰(log 1/ε) convergence). On the other hand, we prove that exponential circuits exist for both MCF and LBF. The existence of a circuit-like set...