Risk and ratio measures in portfolio optimization

Abstract

Táto práca sa zaoberá pokrivenými rizikovými a pomerovými mierami. Ako prvé sú zhrnuté vlastnosti týchto mier vzhľadom k vlastnostiam koherencie a stochastickej dominancii. V práci prezentujeme dôkazy a vysvetľujeme predpoklady na konzistenciu pokrivených rizikových mier so stochastickou dominanciou. Následne ilustrujeme ich vzťah k rizikovým mieram Value-at-Risk a Expected Shortfall, a prezentujeme niekoľko ďalších príkladov týchto mier. Ďalej predstavujeme základy teórie pokrivených pomerových mier. Hlavným teoretickým prínosom tejto práce je predstavenie modelu optimalizácie pokrivených pomerových mier. Tento model predstavujeme s predpokladom diskrétnej rovnomerne rozdelenej stratovej náhodnej veličiny. V závere práce analyzujeme a diskutujeme výsledky a obmedzenia našej implementácie v špecializovanom optimalizačnom programe GAMS na reálnych finančných dátach. Ako sa ukazuje, skupina pokrivených rizikových mier je perspektívna, pretože nám umožňuje modifikovať pravdepodobnosti v rozdeleniach a umožňuje nám modelovať rôzne úrovne rizikovej averzie.

This thesis is focused on distortion risk measures and distortion reward-risk ratios. Firstly, we summarize the properties of these measures related to coherency axioms and stochastic dominance. We present the proofs and explain the assumptions for consistency of distortion risk measures with stochastic dominance. Furthermore, their relation to risk measures Value- at-Risk and Expected Shortfall is explained, and numerous examples of these measures are presented. Then, the basics of the theory of distortion reward-risk ratios are provided. The main theoretical result of this thesis is the proposition of the distortion reward-risk optimization model. We propose this model with the assumption of a discrete loss random variable that has realizations with equal probabilities. Lastly, we analyze and discuss the results and limitations of our implementation in the specialized optimization software GAMS on real financial data. As it turns out, the class of distortion risk measures is prospective because it allows us to re- weight probabilities in the distribution and to model the risk-aversion preferences.