Interpolation of logarithmically convex combinations of operators

Abstract

V této práci studujeme chování logaritmicky konvexních kombinací operátorů, defi- novaných vzorcem Tf = |S1f| 1 θ |S2f|1− 1 θ , kde S1 a S2 jsou (většinou kvazilineární) op- erátory s definičním oborem obsahujícím nějaký prostor měřitelných funkcí a θ ∈ (1, ∞) je parametr. Vybudujeme dvě různé interpolační teorie, přičemž obě nám umožní získat zevrubné informace o chování těchto operátorů na prostorech funkcí. První z nich je zcela obecná a je založena na abstraktní interpolaci a Calderónových prostorech. Výsledky ilus- trujeme na široké škále příkladů dvojic prostorů X, Y takových, že operátor T: X → Y jest omezený, tyto speciálně obsahují tzv. Calderónovu-Lozanovského konstrukci. Druhá z teorií staví na bodových odhadech Calderónovými operátory a je šitá na míru pro získávání omezenosti mezi Orliczovými prostory na základě slabých odhadů, které se objevují v aplikacích. Společným rysem obou teorii je přístup, patrně nový, zahrnující in- terpolaci čtveřice prostorů. Vstupní data se v obou případech skládají ze dvou rozumných endpointových odhadů pro každý z operátorů S1 a S2. 1

We study the behaviour of logarithmically convex combinations of operators given by Tf = |S1f| 1 θ |S2f|1− 1 θ , where S1, S2 are some (usually quasi-linear) operators acting on spaces of measurable functions and θ ∈ (1, ∞) is a parameter. We develop two, quite different in nature, interpolation theories, each of which enables us to obtain a rather com- prehensive information about the behavior of such operators on function spaces. The first one is completely general and is based on abstract interpolation and Calderón spaces. We illustrate the theoretical results by a wide variety of examples of pairs of spaces X, Y such that T: X → Y is bounded, these in particular include the so-called Calderón-Lozanovskiı̌ construction. The second theory departs from pointwise estimates by Calderón operators and is particularly tailored for obtaining boundedness results between Orlicz spaces given weak-type estimates that arise in applications. A common feature of both theories is an approach, apparently new, involving interpolation of four spaces. The input data in each case consists of two reasonable separate endpoint estimates for the operators S1 and S2. 1