On search complexity of discrete logarithm

Abstract

Tato práce studuje problém diskrétního logaritmu v kontextu TFNP- složitostní třídy vyhledávacích problémů se syntakticky zaručenou existencí řešení pro všechny instance. Hlavním výsledkem práce je důkaz PPP-, resp. PWPP-úplnosti dvou vhodných variant diskrétního logaritmu, které jsme pojmenovali Index, resp. DLog. Příslušné redukce do- kazující PWPP-úplnost problému DLog navíc využívají dva nové PWPP-úplné problémy, které poskytují nový strukturální pohled na třídu PWPP. První z těchto problémů, Dove, je zmírnění PPP-úplného problému Pigeon. Dove je první PWPP-úplný problém, který není definovaný pomocí explicitně kompresní funkce. Druhý z těchto problémů, Claw, je totální vyhledávací problém zachycující výpočetní složitost prolomení claw-free per- mutací. V kontextu třídy TFNP odpovídá PWPP-úplnost problému Claw vztahu mezi hašovacími funkcemi rezistentními k nalézání kolizí a claw-free permutacemi popsanému v kryptografické literatuře. 1

In this thesis, we study the discrete logarithm problem in the context of TFNP - the complexity class of search problems with a syntactically guaranteed existence of a solution for all instances. Our main results show that suitable variants of the discrete logarithm problem, which we call Index and DLog, are complete for the classes PPP and PWPP, respectively. Additionally, our reductions provide new structural insights into PWPP by establishing two new PWPP-complete problems. First, the problem Dove, a relaxation of the PPP-complete problem Pigeon. Dove is the first PWPP-complete problem not defined in terms of an explicitly shrinking function. Second, the problem Claw, a total search problem capturing the computational complexity of breaking claw-free permuta- tions. In the context of TFNP, the PWPP-completeness of Claw matches the known intrinsic relationship between collision-resistant hash functions and claw-free permuta- tions established in the cryptographic literature. 1