Characterization of functions with zero traces via the distance function

Abstract

Necht' Ω ⊂ RN je oblast s lipschitzovskou hranicí, d(x) = dist(x, ∂Ω) je funkce vzdálenosti od hranice Ω a p ∈ (1, ∞). Známá charakterizace prostoru funkcí s nu- lovou stopou říká, že u ∈ W1,p 0 (Ω) právě tehdy, když platí u/d ∈ Lp (Ω) a zároveň ∇u ∈ Lp (Ω). Tento výsledek byl v poslední době několikrát vylepšen v tom smyslu, že podmínka u/d ∈ Lp (Ω) byla postupně zeslabována. Bylo dokázáno, že u ∈ W1,p 0 (Ω) právě tehdy, když platí u/d ∈ L1 (Ω) a zároveň ∇u ∈ Lp (Ω). Zatím nejlepší výsledek v tomto směru lze nalézt v autorčině bakalářské práci, kde je dokázáno, že podmínku u/d ∈ Lp (Ω) je možné zeslabit až na u/d ∈ L1,p (Ω), ovšem pouze v případě, kdy N = 1. V této diplomové práci dokážeme, že pro libovolnou dimenzi N ≥ 1, a každá p ∈ (1, ∞) a q ∈ [1, ∞) platí u ∈ W1,p 0 (Ω) právě tehdy, když u/d ∈ L1,q (Ω) a ∇u ∈ Lp (Ω). Na závěr pomocí protipříkladu ukážeme, že naši podmínku není možné nahradit podmínkou u/d ∈ L1,∞ (Ω). 1

Consider a domain Ω ⊂ RN with Lipschitz boundary and let d(x) = dist(x, ∂Ω). It is well known for p ∈ (1, ∞) that u ∈ W1,p 0 (Ω) if and only if u/d ∈ Lp (Ω) and ∇u ∈ Lp (Ω). Recently a new characterization appeared: it was proved that u ∈ W1,p 0 (Ω) if and only if u/d ∈ L1 (Ω) and ∇u ∈ Lp (Ω). In the author's bachelor thesis the condition u/d ∈ L1 (Ω) was weakened to the condition u/d ∈ L1,p (Ω), but only in the case N = 1. In this master thesis we prove that for N ≥ 1, p ∈ (1, ∞) and q ∈ [1, ∞) we have u ∈ W1,p 0 (Ω) if and only if u/d ∈ L1,q (Ω) and ∇u ∈ Lp (Ω). Moreover, we present a counterexample to this equivalence in the case q = ∞. 1