Konstrukce MDS matic

Abstract

Tato práce se zaměřuje na takzvané Maximum Distance Separable (zkrá- ceně MDS) matice nad konečnými tělesy, především pak na cirkulantní MDS matice. Na začátku jsou představeny koncepty související s MDS kódy a jejich charakterizací. Poté následuje úvod do cirkulantních matic a jejich vztah k faktorovým algebrám polynomů. Druhá část se zaměřuje především na cirkulantní MDS matice. Vychází z konstrukce MDS matic tvaru 3 × 3 a 4 × 4 a poté pokračuje obecnou konstrukcí MDS matic z Van- dermondových matic. Nakonec uvádí určitá omezení týkající se existence ortogonálních cirkulantních MDS matic, konkrétně že neexistují žádné takové matice tvaru 2d × 2d nad žádným konečným tělesem charakteristiky dva. 1

This thesis focuses on Maximum Distance Separable (MDS) matrices over finite fields, with emphasis on circulant MDS matrices. At the beginning, concepts related to MDS codes and their characterization are introduced. This is directly followed by an introduction into circulant matrices and their relation to factor algebras of polynomials. In the second part, we shift our focus specifically on circulant MDS matrices. We start from the construction of such matrices in dimensions 3×3 and 4×4 and then proceed to a general construction of MDS matrices from Vandermond matrices.Finally, we find some restrictions on the existence of orthogonal circulant MDS matrices, namely that there are no such 2d × 2d matrices over any finite field of characteristic two. 1