Strongly compact cardinals and SCH

Abstract

Práce je věnována kardinální aritmetice. Prvním krokem je formulace Hypotézy sin- gulárních kardinálů (SCH), jež zjednodušuje kardinální mocnění singulárních kardinálů. Dále zavádíme pojem stacionární množiny a uzavřené neomezené podmnožiny ordinálního čísla. Hlavním cílem je pak důkaz Silverovy věty a jejího důsledku pro SCH, který říká, že SCH platí pro všechny kardinály, pokud platí pro singulární kardinály se spočetnou kofinalitou. V poslední části zavádíme pojem silně kompaktního kardinálu a ukazujeme několik užitečných vlastnosti takových kardinálů. Nakonec dokážeme Solovayovu větu, jež tvrdí, že SCH platí všude nad silně kompaktním kardinálem. 1

The thesis is devoted to the cardinal arithmetic. The first step is to formulate the Singular Cardinals Hypothesis (SCH) which simplifies the cardinal exponentiation of sin- gular cardinal numbers. We then define stationary sets and closed and unbounded subsets of an ordinal number. The main goal is to prove the Silver's theorem and the corollary which states, that if SCH holds for all singular cardinals with countable cofinality, then it holds everywhere. In the last chapter we define strongly compact cardinal numbers and prove some of their properties. Finally, we prove the Solovay's theorem, which states that SCH holds everywhere above a strongly compact cardinal. 1