Okruhy s omezenou minimální podmínkou

Abstract

Okruh je artinovský právě tehdy, když jsou všechny jeho faktory artinovské. Řekneme, že okruh splňuje omezenou minimální podmínky, pokud jsou jeho faktory podle esenciálních ideálů artinovské. Zkráceně takový okruh nazveme RM okruhem. Podobně jako třída artinovských okruhů je třída RM okruhů uzavřená na faktory a konečné direktní součiny. V práci dokážeme splnění RM podmínky u souřadnicových okruhů, okruhu (R × R)[x] a noetherovských CDR oborů. Prozkoumáme vztah gaussových a RM oborů. V poslední kapi- tole zaměříme naši pozornost na okruhy polynomů. Dokážeme, že je-li okruh R[x] RM okruhem, je R totálně rozložitelný. Laurentovi polynomy nad oborem R tvoří RM okruh právě tehdy, když je R těleso. 1

Ring is artintian if and only if all of its factors are artinian. We say that ring R satisfies the restricted minimum condition, if for every essenctial ideal, corresponding factor ring is artinian. We will call such ring RM ring for short. Similarly as the class of artinian rings, the class of RM rings is closed under fac- tors and finite direct products. In this thesis we prove that restricted minimum condition is satisfied in coordinate rings, ring (R × R)[x] and noetherian CDR domains. We investigate the relation between unique factorization domains and RM domains. In last chpater, we will focus are attention to polynomial rings, proving that if ring R[x] is RM then R is semisimple. Laurents polynomials over domain R are RM rings if and only if R is a field. 1