Counting extensions of imaginary quadratic fields

Abstract

Cíl této práce je zjistit asymptotické chování počtu kvadratických rozšíření číselného tělesa podle diskriminantu. Zejména nás budou zajímat rozšíření imaginárních kvadrat- ických těles s lichým třídovým číslem. Pro dané číselné těleso K definujeme grupu idel IK a třídovou grupu idel CK, která zachycuje lokální chování číselného tělesa. Potom použi- jeme Artinovu reciprocitu, kterˇa dává korespondenci mezi kvadratickými rozšířeními K a kvadratickými charaktery na CK. Když je třídové číslo liché, kvadratické charaktery na CK se redukují na charaktery na součinu grup invertibilních prvků lokálních těles. Tyto charaktery lze explicitně napsat a můžeme spočítat diskriminant korespondujícího rozšíření z jejich lokálních konduktorů. Tyto informace dáme dohromady ve formě zeta funkce a nakonec použijeme Tauberovskou větu pro zjištění asymptotického chování. 1

The goal of this thesis is to determine the asymptotic behaviour of the number of quadratic extensions of a number field in terms of the discriminant. We will be par- ticularly interested in extensions of imaginary quadratic number fields with odd class number. For a given number field K we will define the group of ideles IK and the idele class group CK, which capture the local behaviour of a number field. Then we use the Artin reciprocity theorem to give a correspondence of quadratic extensions and quadratic characters on CK. When the class number is odd, quadratic characters on CK reduce to characters on the product of groups of units of local fields. These characters can be given explicitly and we compute the discriminant of the corresponding extension from their local conductors. We put this information together in the form of a zeta function and finally use a Tauberian theorem to compute the asymptotic behaviour. 1