Řetězové zlomky s předepsanou periodou

Abstract

Tato práce se zabývá řetězovými zlomky algebraických čísel stupně 2. Jsou ukázány jejich základní vlastnosti, včetně sepsání potřebné teorie. Tato teorie je poté použita k nalezení tvaru řetězového zlomku druhých odmocnin z přirozených čísel, které nejsou čtverce, a jejich symetrické posloupnosti (a1, . . . , ak). Dále, pro danou symetrickou posloupnost přirozených čísel (a1, . . . , ak), jsou charakterizo- vána všechna N přirozená, jejichž druhé odmocniny mají řetězový zlomek právě s touto symetrickou posloupností (a1, . . . , ak). Tato přirozená N jsou popsána jako funkční hodnoty nějakého kvadratického polynomu, jehož vlastnosti budou v této práci rovněž zkoumány. 1

This thesis concerns continued fractions of quadratic irrationals. Their basic properties are shown, including mentioning necessary theory to do this. Then, this theory is used to find the form of continued fractions of square roots of positive nonsquare integers and their symmetric part (a1, . . . , ak). Next, for a given symmetric sequence of positive integers (a1, . . . , ak), we find all natural numbers N, whose square root has a continued fraction with symmetric part (a1, . . . , ak). These positive N will be described as values of a certain quadratic polynomial, whose properties are studied as well in the thesis. 1