Stochastické diferenciální rovnice s gaussovským šumem a jejich aplikace
Stochastic Differential Equations with Gaussian Noise and Their Applications
diplomová práce (OBHÁJENO)
Zobrazit/ otevřít
Trvalý odkaz
http://hdl.handle.net/20.500.11956/120534Identifikátory
SIS: 205898
Kolekce
- Kvalifikační práce [10690]
Autor
Vedoucí práce
Konzultant práce
Maslowski, Bohdan
Oponent práce
Večeř, Jan
Fakulta / součást
Matematicko-fyzikální fakulta
Obor
Pravděpodobnost, matematická statistika a ekonometrie
Katedra / ústav / klinika
Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky
Datum obhajoby
7. 9. 2020
Nakladatel
Univerzita Karlova, Matematicko-fyzikální fakultaJazyk
Čeština
Známka
Výborně
Klíčová slova (česky)
stochastické diferenciální rovnice, frakcionální Brownův pohybKlíčová slova (anglicky)
stochastic differential equations, fractional Brownian motionV diplomové práci je studován vícerozměrný frakcionální Brownův pohyb, který může mít různé hodnoty Hurstova parametru v různých složkách, pro tento proces je dokázána věta Girsanovova typu. Dále jsou ukázány dvě různé ap- likace této věty na stochastické diferenciální rovnice řízené vícerozměrným frak- cionálním Brownovým pohybem. Nejprve jsou nalezeny postačující podmínky pro existenci slabého řešení rovnic s driftem, který může být napsán jako součet regulární a neregulární části, a difúzním koeficientem, který závisí na čase a splňuje jisté podmínky zajištující jeho integrabilitu vzhledem k řídícímu procesu. Tyto výsledky jsou užity k důkazu existence slabého řešení rovnice popisující stochastický harmonický oscilátor. Věta Girsanovova typu je poté využita k nalezení maximálně věrohodného skalárního parametru, který se vyskytuje v driftu rovnice s aditivním šumem. 1
In the thesis, multivariate fractional Brownian motions with possibly different Hurst indices in different coordinates are considered and a Girsanov-type theo- rem for these processes is shown. Two applications of this theorem to stochastic differential equations driven by multivariate fractional Brownian motions (SDEs) are given. Firstly, the existence of a weak solution to an SDE with a drift coeffi- cient that can be written as a sum of a regular and a singular part and a diffusion coefficient that is dependent on time and satisfies suitable conditions is shown. The results are applied for the proof of existence of a weak solution of an equation describing stochastic harmonic oscillator. Secondly, the Girsanov-type theorem is used to find the maximum likelihood scalar estimator that appears in the drift of an SDE with additive noise. 1