Frakcionální Poissonův proces

Abstract

This work concerns the fractional Poisson process and its properties. The aim of this work is to derive some of its properties in detail. The first chapter contains the basics of the theory of random processes, fractional calculus, especially in connection with fractional differential equations, the Laplace transform and some properties of the classical Poisson process. The second chapter contains the definition of the fractional Poisson process and from it, using the theory from Chapter 1, we derive the fractional Poisson distribution, mean value and variance, as well as the proof of non-stationarity of increments and other properties. Finally, simulations of its trajectories are given of various values of parameters. 1

Tato práce se věnuje frakcionálnímu Poissonovu procesu a jeho vlastnostem. Cíl práce je některé tyto vlastnosti podrobně odvodit. První kapitola pojednává o základech teorie náhodných procesů, frakcionálním kalkulu, zejména o řešení frakcionálních diferenciálních rovnic, Laplaceově transformaci a některých vlastnostech klasického Poissonova procesu. Druhá kapitola obsahuje definici frakcionálního Poissonova procesu a z ní za užití teorie z první kapitoly odvození jeho rozdělení, střední hodnoty, rozptylu a důkaz nestacionarity jeho přírůstků a další jeho vlastnosti. V poslední podkapitole druhé kapitoly jsou uvedeny simulace trajektorií frakcionálního Poissonova procesu pro různé volby parametrů. 1