Rotation Number on a Circle

Abstract

We apply the dynamical method to obtain structural results concerning certain classes of one-dimensional maps. The notion central to the work is that of a rotation number on a circle; we relate the rotation modulus to periodicity of an orientation-preserving circle homeomorphism and generalize the concept to continuous degree-1 circle maps. We investigate the asymptotic orbit behaviour of circle homeomorphisms with irrational rotation number and develop the Poincaré Classification Theorem which establishes topo- logical (semi-)conjugacy of a circle homeomorphism with an irrational rotation number to a rotation with the same rotation number. 1

Práce se zabývá vybranými partiemi z teorie jednodimenzionálních dynamických sys- témů. Klíčovým pojmem je zde dynamický invariant rotačního čísla na kružnici a jeho vztah k existenci periodických bodů daného orientaci zachovávajícího homeomorfismu kružnice. Pojem rotačního čísla je dále rozšířen pro taková spojitá zobrazení kružnice do sebe, která jsou stupně jedna. Podrobně jsou studovány asymptotické vlastnosti homeo- morfismů kružnice s iracionální hodnotou rotačního čísla, tyto úvahy pak vedou k důkazu Poincarého klasifikační věty postulující (semi-)konjugovanost homeomorfismu kružnice s iracionálním rotačním číslem a rotace se stejným rotačním číslem. 1