Mathematical analysis of models arising in continuum mechanics with implicitly given rheology and boundary conditions

Abstract

In the thesis, we study the Navier-Stokes-like and the Navier-Stokes-Fourier- like problems for the flows of homogeneous incompressible fluids. In the first part of the thesis, we introduce a new type of boundary condition for the shear stress tensor, which includes the time derivative of the velocity. Therefore, we are able to capture the dynamic response of the fluid on the boundary. As the second part of the thesis, we include the published journal article co-authored by J. Žabenský on the Navier-Stokes-Fourier-like problem formulated in the complete thermodynamic setting. In both parts, the constitutive relations are formulated implicitly with the use of maximal monotone graphs. The main result of the thesis is the existence analysis for the above mentioned problems.

V práci se zabýváme zobecněnými Navierovými-Stokesovými a Navierovými- Stokesovými-Fourierovými problémy proudění homogenních nestlačitelných tekutin. V první části práce představujeme zcela nový typ okrajové pod- mínky pro tensor napětí, která obsahuje časovou derivaci rychlosti a dokáže tak popsat dynamickou odezvu tekutiny na hranici. Druhá část práce ob- sahuje již publikovaný článek, který vznikl ve spolupráci s J. Žabenským a který se zabývá kompletním termodynamickým systémem, který je pop- sán zobecněnými Navierovými-Stokesovými-Fourierovými rovnicemi. V obou částech jsou konstitutivní vztahy formulovány implicitně pomocí maximál- ních monotónních graf u. Hlavní výsledek práce je existenční analýza pro výše uvedené problémy.