Variants of graph labeling problems

Abstract

This thesis consists of three parts devoted to graph labeling, hereditary graph classes, and parameterized complexity. Packing coloring, originally Broadcasting Chromatic number, assigns natural numbers to vertices such that vertices with the same label are in distance at least the value of the label. This problem is motivated by the assignment of frequencies to the transmitters. We improve hardness on chordal graphs. We proof that packing coloring on chordal graphs with diameter 3 is very hard to approximate. Moreover, we discuss several positive results on interval graphs and on related structural graph parameters. Hereditary graph classes are preserved under vertex deletion. We study graphs that do not contain an induced subgraph H. We prove that 3-coloring is polynomial-time solvable for (P3 + P4)-free and (P2 + P5)-free graphs and thus we have solved the last open cases for the problem on H-free graphs where H has up to 7 vertices. Fair problems are a modification of graph deletion problems, where, instead of minimizing the size of the solution, the aim is to minimize the maximum number of neighbors in the deleted set. We show that those problems can be solved in FPT time for an MSO1 formula parameterized by the size of the formula and the twin cover of the graph. Moreover, we define a basic...

Tato práce se skládá ze tří částí zasvědcených značkování grafů, dědičným grafovým třídám a parametrizované složitosti. Pakovací barvení, původně označované vysílací barevnost, přiřazuje vrcholům grafu přirozená čísla tak, že vrcholy se stejným číslem musí být od sebe vzdáleny alespoň o hodnotu danného čísla. Tento problém je motivován přiřazováním frekvencí vysílačům. My zlepšujeme těžkost na chordálních grafech. Dokazujeme, že pakovací barvení na chordálních grafech diametru 3 je velice těžké aproximovat. Navíc uvádíme několik pozitivních výsledků pro intervalové grafy a pro související strukturální grafové parametry. Dědičné grafové třídy jsou zachovány při mazání vrcholů. My studujeme grafy takové, které neobsahují podgraf H jako svůj indukovaný podgraf. Dokazujeme, že 3 barvení je polynomiálně řešitelné pro (P3 + P4)-free a (P2 + P5)-free grafy, a tudíž jsme vyřešili poslední otevřené případy pro H-free grafy, kde H má nanejvýš 7 vrcholů. Férové problémy jsou takové modifikace grafových mazacích problémů, kde místo minimalizace velikosti řešení, je cílem minimalizovat maximální počet sousedů ve smazané množině. My ukazujeme, že takové problémy jdou vyřešit ve FPT čase pro MSO1 formuli parametrizováno velikostí formule a twin pokrytím grafu. Navíc definujeme základní férový problém, férové...