Svazové konstrukce a dualita Priestleyové

Abstract

In this thesis after recalling some basic definitions and theorems in category theory, lattice theory and topology we first introduce the so called Stone duality of the category of boolean lattices and the category of boolean topological spaces. Then we introduce its generalization, the so called Priestley duality of the category of bounded distributive lattices and the category of total order disconnected topological spaces. Then we introduce the M3[.] lattice construction and prove that for every bounded distributive lattice L there is an isomorphism from the lattice M3[L] to the lattice of all continuous monotone maps from the Priestley space of L to the lattice M3 with discrete topology. Finally we introduce the so called boolean power, which we generalize to the so called priestley power and we prove that for every natural number n ≥ 3 and every bounded distributive lattice L there is an isomorphism from the lattice Mn to the priestley power of the lattice Mn by the lattice L. 1

V této práci po připomenutí základních pojmů z teorie kategorií, teorie svazů a topologie nejdříve popíšeme tzv. Stoneovu dualitu kate- gorie booleovských svazů a kategorie booleovských topologických pro- storů. Poté popíšeme její zobecnění, tzv. dualitu Priestleyové katego- rie omezených distributivních svazů a kategorie totálně ≤-nesouvislých uspořádaných topologických prostorů. Následně zavedeme svazovou kon- strukci M3[.] a dokážeme, že pro každý distributivní svaz L je svaz M3[L] izomorfní svazu všech spojitých monotónních zobrazení z pro- storu, který je svazu L přiřazen v dualitě Priestleyové, do svazu M3 s diskrétní topologií. Nakonec popíšeme pojem tzv. booleovské mocniny, který zobecníme na pojem tzv. priestleyovské mocniny a dokážeme, že pro každé přirozené číslo n ≥ 3 a pro každý distributivní svaz L je svaz Mn[L] izomorfní priestleyovské mocnině svazu Mn podle svazu L. 1