Parameter estimation for Ornstein-Uhlenbeck process

Abstract

The Ornstein-Uhlenbeck process has countless practical applications most of which rely on having previously estimated the drift parameter. The literature offers two basic estima- tors - the least-squares estimator, which coincides with the maximum-likelihood estimator for Ornstein-Uhlenbeck process, and the method-of-moments estimator. However, the sim- ilarity in asymptotic properties of these estimators means that choosing which one to use is more of a random guess than an educated decision. This thesis focuses on finding dif- ferences between the two estimators when applied to the Ornstein-Uhlenbeck trajectories generated in R. The simulation study performed suggests that the method-of-moments is better suited when the initial condition is close to zero even if the observations are col- lected sparsely. On the other hand, the precision of the least-squares estimator is better when the initial condition is further away from zero, but it still requires having dense data points. Under the conditions of this study, the least-squares estimator performs better compared to the method-of-moments if the absolute value of the initial condition is large. On the other hand, the method-of-moments is superior in cases where we have infrequent observations and long time horizon.

Ornstein-Uhlenbeckův proces má nespočetně praktických využití. Pro většinu z nich je potřebné znát alespoň odhad jeho parametrů. Dvě základní metody odhadu parametrů jsou metoda nejmenších čtverců (která má v tomto případě stejný výsledek jako metoda maximální věrohodnosti) a metoda momentů. Avšak tyto dvě metody jsou si hodně podobné co se asymptotických vlastností týče. Proto je rozhodnutí, kterou z nich si v praxi vybrat, často náhodné nebo málo informované. Tato práce se soustředí na určení rozdílů mezi zmíněnými metodami při aplikaci na trajektorie Ornstein-Uhlenbeckova pro- cesu vygenerované v statistickém softwaru R. Simulační studie, která byla v této práci provedena, naznačuje, že metoda momentů je vhodnější, pokud je počáteční podmínka procesu blízko nuly a to i v případě, že nemáme moc husté pozorování. Na druhou stranu přesnost metody nejmenších čtverců je lepší v případech, kdy je počáteční podmínka daleko od nuly. Avšak v tomto případě je nutné mít husté pozorovnání. V této studii metoda nejmenších čtverců fungovala lépe než metoda momentů, pokud byla počáteční podmínka velká. Naopak metoda momentů byla přesnější, pokud nebyla dostupná hustá data, ale...