Riemannův-Liouvilleův integrál, frakcionální derivace a jejich využití v teorii pravděpodobnosti

Abstract

Frakcionální derivace a integrál v jistém smyslu zobecňují pojmy derivace a integrálu z klasického kalkulu. S jejich využitím se dá integrál b a f(x) dg(x) na omezeném intervalu definovat pro velkou třídu integrandů f a integrá- torů g v obecném případě s neomezenou variací. Toho se s výhodou využije v teorii stochastických diferenciálních rovnic, kde některé náhodné procesy nemají omezenou variaci, ale existuje jejich hölderovsky spojitá verze. Práce se zabývá vícedimenzionálními rovnicemi konkrétního typu, u nichž za jis- tých podmínek lze zaručit existenci jednoznačně určeného řešení. V práci je nově dokázána spojitá závislost řešení těchto rovnic na počáteční podmínce. Dále se zabývá situací, že koeficienty v rovnicích spojitě závisí na parame- tru z nějakého obecného metrického prostoru. Pro tento případ je v práci představen důkaz spojité závislosti řešení na těchto parametrech. 1

Fractional integrals and derivatives in a sense generalize common integrals and derivatives. They can be used to define the integral b a f(x) dg(x) on a bounded interval for large set of integrands f and integrators g, in ge- neral, of unbounded variation. This concept may be utilized in theory of stochastic differential equations, where the standard random processes are not of bounded variation, yet they admit a version with Hölder continuous sample paths. This thesis deals with a particular type of multidimensional differential equations, where subject to certain conditions an existence of a unique solution may be proved. It presents the proof of continuous depen- dence of solutions on initial condition. Furthermore, this thesis analyzes the situation in which coefficients in equations continuously depend on a para- meter from certain metric space. For such a situation, the thesis introduces a proof of continuous dependence of solutions on these parameters. 1