Absolute and non-absolute F-Borel spaces

Abstract

Zabýváme se F-borelovskou složitostí topologických prostorů a tím, jak se tato složitost liší v závislosti na tom, kam je daný topologický prostor vnořen. Obzvláště nás pak zajímá, kdy je tato složitost absolutní, tj. stejná ve všech kompaktifikacích. Ukazujeme, že složitost metrizovatelných prostorů je abso- lutní. Dále odvozujeme postačující podmínku pro to, aby byl prostor absolutně Fσδ. Studujeme vztah lokální a globální složitosti a závádíme různé reprezentace F-borelovských množin. Tyto nástroje používáme k důkazu několika různých výsledků, zejména pak k získání hierarchie prostorů, jejichž složitost je neabso- lutní. 1

We investigate F-Borel topological spaces. We focus on finding out how a complexity of a space depends on where the space is embedded. Of a particular interest is the problem of determining whether a complexity of given space X is absolute (that is, the same in every compactification of X). We show that the complexity of metrizable spaces is absolute and provide a sufficient condition for a topological space to be absolutely Fσδ. We then investigate the relation between local and global complexity. To improve our understanding of F-Borel spaces, we introduce different ways of representing an F-Borel set. We use these tools to construct a hierarchy of F-Borel spaces with non-absolute complexity, and to prove several other results. 1