Measures of non-compactness of Sobolev embeddings

Abstract

The measure of non-compactness is defined for any continuous mapping T : X Y between two Banach spaces X and Y as β(T) := inf { r > 0: T(BX) can be covered by finitely many open balls with radius r } . It can easily be shown that 0 ≤ β(T) ≤ ∥T∥ and that β(T) = 0, if and only if the mapping T is compact. My supervisor prof. Stanislav Hencl has proved in his paper that the measure of non-compactness of the known embedding W k,p 0 (Ω) → Lp∗ (Ω), where kp is smaller than the dimension, is equal to its norm. In this thesis we prove that the measure of non-compactness of the embedding between function spaces is under certain general assumptions equal to the norm of that embedding. We apply this theorem to the case of Lorentz spaces to obtain that the measure of non-compactness of the embedding Wk 0 Lp,q (Ω) → Lp∗,q (Ω) is for suitable p and q equal to its norm. 1

Míra nekompaktnosti operátoru je definována pro libovolný spojitý operátor T : X Y mezi dvěma Banachovými prostory X a Y jako β(T) := inf { r > 0: T(BX) je možné pokrýt konečně mnoha koulemi o poloměru r } . Jednoduše se dá ukázat, že 0 ≤ β(T) ≤ ∥T∥ a že β(T) = 0, právě když je T kompaktní operátor. Ve svém článku můj vedoucí prof. Stanislav Hencl dokázal, že pro známé vnoření W k,p 0 (Ω) → Lp∗ (Ω), kde kp je menší než dimenze, platí, že jeho míra nekompaktnosti se rovná jeho normě. V této práci dokazujeme, že za jistých předpokladů je míra nekompakt- nosti vnoření jednoho prostoru funkcí do druhého rovna jeho normě. Toto tvrzení použijeme na zobecnění zmíněného výsledku pro případ Lorentzo- vých prostorů. Konkrétně ukážeme, že míra nekompaktnosti vnoření Wk 0 Lp,q (Ω) → Lp∗,q (Ω) je pro vhodná p a q rovna jeho normě. 1