Graph communication protocols

Abstract

Graph communication protocols are a generalization of classical communi- cation protocols to the case when the underlying graph is a directed acyclic graph. Motivated by potential applications in proof complexity, we study variants of graph communication protocols and relations between them. The main result is a comparison of the strength of two types of protocols, protocols with equality and protocols with a conjunction of a constant num- ber of inequalities. We prove that protocols of the first type are at least as strong as protocols of the second type in the following sense: For a Boolean function f, if there is a protocol with a conjunction of a constant number of inequalities of polynomial size solving f, then there is a protocol with equality of polynomial size solving f. We also introduce two new types of graph communication protocols, protocols with disjointness and protocols with non-disjointness, and prove that the first type is at least as strong as the previously considered protocols and that the second type is too strong to be useful for applications.

Grafové komunikační protokoly jsou zobecněním klasických komunikačních protokolů na případ, kdy je grafem protokolu orientovaný acyklický graf. Motivováni možnými aplikacemi v důkazové složitosti studujeme varianty grafových komunikačních protokolů a vztahy mezi nimi. Hlavním výsledkem je porovnání síly dvou typů protokolů, protokolů s rovností a protokolů s konjunkcí konstantního počtu nerovností. Dokazujeme, že protokoly prvního typu jsou alespoň tak silné jako protokoly druhého typu v následujícím smyslu: Necht' f je booleovská funkce. Pokud existuje protokol s konjunkcí konstantního počtu nerovností polynomiální velikosti řešící f, pak existuje protokol s rovností polynomiální velikosti řešící f. Rovněž zavádíme dva nové typy grafových komunikačních protokolů, protokoly s disjunktností a protokoly s nedisjunktností, a dokazujeme, že protokoly prvního typu jsou alespoň tak silné jako doposud uvažované protokoly a že protokoly druhého typu jsou příliš silné na to, aby mohly být aplikovány.