Quotients in algebraic geometry

Abstract

This thesis is concerned with the existence of pushouts in two different settings of algebraic geometry. At first, we study the pushouts in the cat- egory of affine algebraic sets over an infinite field. We show that this can be regarded as an instance of much general problem whether the pullback of finitely generated algebras over a commutative Noetherian ring is finitely generated. We give a partial solution to this problem and study some ex- amples. Secondly, we examine the existence of pushouts in the category of schemes with an emphasis on diagrams of affine schemes. We use the methods of Ferrand [2003] and Schwede [2004] and generalise some of their results. We conclude by giving some examples and suggest another approach to the problem.

Tato diplomová práce se zabývá existencí pushoutů ve dvou různých kontextech algebraické geometrie. Nejprve studujeme pushouty v kategorii afinních algebraických množin nad nekonečným tělesem. Ukazujeme, že lze tento problém nazírat jako instanci mnohem obecnějšího problému, kdy je pullback konečně generovaných algeber nad komutativním noetherovským okruhem konečně generovaný. Dáváme částečné řešení toho problému a stu- dujeme některé příklady. Dále se zabýváme existencí pushoutů v katego- rii schémat s důrazem na diagramy afinních schémat. Používáme metody Ferranda [2003] a Schwedeho [2004] a zobecňujeme některé jejich výsledky. Na závěr uvádíme rovněž příklady a naznačujeme možný další přístup k prob- lému.