The Gibbs phenomenon in the discontinuous Galerkin method

Abstract

The solution of the Burgers' equation computed by the standard finite element method is degraded by oscillations, which are the manifestation of the Gibbs phenomenon. In this work we study the following numerical me- thods: Discontinuous Galerkin method, stable low order schemes and the flux corrected technique method in order to prevent the undesired Gibbs phenomenon. The focus is on the reduction of severe overshoots and under- shoots and the preservation of the smoothness of the solution. We consider a simple 1D problem on the interval (0, 1) with different initial conditions to demonstrate the properties of the presented methods. The numerical results of individual methods are provided. 1

Gibbsův jev se projevuje oscilacemi, které znehodnocují numerické řešení. Cílem této práce je předtsavit metody, které zabraňují projevům Gibbsova jevu, zejména potlačují přestřely a podstřely, ale zároveň zachovávají hlad- kost řešení. Uvažujme 1D úlohu: Burgersovu rovnici na intervalu (0,1). Pro daný problém představíme postupně nespojitou Galerkinovu metodu, stabilní nízkoúrovńové schéma a metodu FCT (flux corrected technique). Na řešení Burgersovy rovnice opatřené různými počátečními podmínkami demonstru- jeme vlastnosti uvedených metod. Numerické výsledky pro jednotlivé metody předtavíme v poslední kapitole. 1