Groups the order of which is the fourth power of a prime greater than three

Abstract

The primary objective of this thesis is the classification of groups the order of which is the fourth power of a prime greater than three. First, concepts such as the Frattini subgroup are introduced, and some of their general properties are shown. These properties are then used to seperate the groups of order p4 for p > 3 into distinct cases, and these cases are then described in more detail. In the final chapter semihomomorphisms are introduced, and some properties of the group of semiautomorphisms are shown. In particular, a method of embedding semiautomorphisms of a group is shown, and the group of semiautomorphisms of a group of nilpotence class two is described in more detail. 1

Hlavním cílem této práce je klasifikace grup, jejichž řád je čtvrtou mocninou prvočísla většího než tři. Nejprve jsou uvedeny pojmy jako Frattiniho podgrupa a jsou dokázány různé základní vlastnosti týkající se těchto pojmů. Tyto vlastnosti jsou poté použity k rozdělení grup řádu p4 , kde p > 3, na různé typy, a tyto typy jsou dále podrobněji popsány. V poslední kapitole je uveden pojem semihomo- morfismu a jsou popsány některé vlastnosti grupy semiautomorfismů. Konkrétně je v této kapitole popsán způsob vnoření struktury semiautomorfismů grupy, a také je podrobněji popsána grupa semiautomorfismů grupy stupně nilpotence dva. 1