Teorie grafů a její maticová reprezentace při řešení úloh

Abstract

Title: Graph theory and its matrix representation in solving problems Author: Ivana Ma!ková Department: Department of Mathematics and Mathematical Education Supervisor: Mgr. Michal Zamboj, Ph.D., Department of Mathematics and Mathe- matical Education Abstract: This bachelor's thesis aims to design a concrete network-based task focused on measuring the influence (centrality) of a node in a social network, and to build the theoretical framework needed to make this accessible to secondary school students without deeper knowledge of linear algebra or discrete mathematics. The thesis is built around one specific task: deciding which influencer in a small group should receive a promotional product so that information about it spreads as e"ciently as possible. Using this task, the theoretical apparatus of graph theory and matrix representations of graphs is gradually developed - from basic concepts through matrix operations to adjacency matrices and their powers, which describe the number of walks in a graph. On this basis, Katz centrality is derived, followed by eigenvector centrality, based on the eigenvalues and eigenvectors of the adjacency matrix. The thesis shows that degree centrality (the number of direct connections) fails to adequately capture a node's true influence in the network, whereas eigenvector...

Název práce: Teorie graf! a její maticová reprezentace p"i "e#ení úloh Autor: Ivana Ma#ková Katedra: Katedra matematiky a didaktiky matematiky Vedoucí bakalá"ské práce: Mgr. Michal Zamboj, Ph.D., Katedra matematiky a didaktiky matematiky Abstrakt: Cílem této bakalá"ské práce je navrhnout konkrétní sí$ovou úlohu zam%"enou na m%"ení vlivu (centrality) uzlu v sociální síti a vybudovat k ní teoretick& aparát srozumiteln& 'ák!m st"edních #kol bez hlub#í znalosti lineární algebry a diskrétní matematiky. Práce je vystav%na kolem jedné konkrétní úlohy: komu v malé skupin% influencer! p"edat propaga(ní produkt, aby se informace o n%m #í"ila co nejefektivn%ji. Na této úloze je postupn% budován teoretick& aparát teorie graf! a maticové reprezentace graf!, od základních pojm! p"es operace s maticemi a' k maticím sousednosti a jejich mocninám, které popisují po(ty sled! v grafu. Na tomto základ% je odvozena Katzova centralita a následn% centralita vlastních vektor!, zalo'ená na vlastních (íslech a vlastních vektorech matice sousednosti. Práce ukazuje, 'e centralita stupn% (po(et p"ím&ch spojení) nedostate(n% zachycuje skute(n& vliv uzlu v síti, zatímco centralita vlastních vektor! zohled)uje i strukturu a d!le'itost soused!, a vede tak k odli#nému a p"esn%j#ímu po"adí vlivu. V&sledná teorie je následn% aplikována na...