Prostorové řešení rovinných geometrických úloh

Abstract

Tato bakalářská práce se zabývá řešením rovinných geometrických úloh poněkud netradičním způsobem, a to řešením pomocí prostorové interpretace. K prostorovému řešení je vždy využito některé z geometrických těles. Práce je rozdělena na dvě hlavní části. V části první využijeme hranaté plochy a tělesa, kterými jsou hranol a jehlan (a jejich plochy) - podle těchto těles je práce dále dělena na podkapitoly. V podkapitole o hranolu se pojednává o osové afinitě mezi dvěma rovinami - osová afinita je pak použita v následujícím důkazu Pohlkeovy věty. Dále jsou uvedeny konstrukční úlohy, kde v prostorové představě využijeme speciální typy hranolů. V podkapitole o jehlanu zase hovoříme o středové kolineaci, která se následně používá v Desarguesově větě. Uvedeny jsou také další konstrukční úlohy a analogie. Druhá část práce se soustředí na využití kvadrik v prostorovém řešení - v tomto případě se jedná o kužel, válec, kružnici a paraboloid. V podkapitole o kuželu a válci jsou uvedeny věty Quételetova-Dandelinova a Mongeova, důkaz vlastností tětivového čtyřúhelníku nebo Apolloniova úloha řešená pomocí cyklografie. Apolloniova úloha je následně řešena také v dalších podkapitolách, a to za pomoci stereografické projekce na sféře a poté s využitím vlastností rotačního paraboloidu. Celá práce je proložena...

This bachelor thesis deals with solving planar geometric problems in slightly unusual way, by solving it with the use of spatial interpretation. Various geometric solids are used for spatial solutions. The thesis is divided into two main parts. The first chapter deals with prismatic and pyramidal surfaces and solids and is further subdivided into corresponding parts. The subchapter about the prisms discusses an axial affinity between two planes, which is applied to the following proof of Pohlke's theorem. Constructions with special types of prisms are used in spatial visualizations. In the subchapter about the pyramid we describe a central collineation, that is subsequently used in the Desargues's theorem. Further on, some constructions and analogies are also presented. The second part of the thesis is focused on the use of quadrics in spatial solutions - particularly we consider a cone, a cylinder, a sphere and a paraboloid. The theorem of Quételet-Dandelin, Monge's theorem, cyclic quadrilateral or cyclographic solution of the Apollonius' problem are presented in the subchapter about the cone and the cylinder. The Apollonius' problem is subsequently solved in next subchapters with the use of stereographic projection on the sphere and by using the properties of a rotary paraboloid. The entire...