Choquetova teória a Dirichletova úloha
Choquet Theory and Dirichlet Problem
Choquetova teorie a Dirichletova úloha
dissertation thesis (DEFENDED)
View/ Open
Permanent link
http://hdl.handle.net/20.500.11956/81822Identifiers
Study Information System: 44541
Collections
- Kvalifikační práce [10690]
Author
Advisor
Referee
Brzezina, Miroslav
Medková, Dagmar
Faculty / Institute
Faculty of Mathematics and Physics
Discipline
Mathematical Analysis
Department
Department of Mathematical Analysis
Date of defense
29. 9. 2016
Publisher
Univerzita Karlova, Matematicko-fyzikální fakultaLanguage
Slovak
Grade
Pass
Keywords (Czech)
Choquetova teorie, Dirichletova úloha, harmonické funkce na kompaktu, podtřídy funkcí první Baireovy třídyKeywords (English)
Choquet theory, Dirichlet problem, harmonic functions on compact set, subclasses of Baire class one functionsV práci se zabýváme prostorem H(K) funkcí harmonických na kompaktu v klasické i abstraktní teorii potenciálu. Nejdříve v klasické teorii uvádíme několik ekvivalentních charakterizací tohoto prostoru, z nichž vnitřní cha- rakterizace, jako podprostoru těch funkcí na kompaktu K, které jsou jemně harmonické na jemném vnitřku K, nám později slouží jako definice H(K) v abstraktní teorii potenciálu. Dále se zabýváme řešením Dirichletovy úlohy pro otevřenou množinu a pro kompakt především s ohledem na podtřídy funkcí první Baireovy třídy. Výsledky dokázané nejdříve v klasické teorii potenciálu pak zobecňujeme do abstraktní teorie potenciálu, a to najdříve s využitím elementárnějších prostředků do harmonických prostorů s axiomem dominance a pak s využitím silnějších prostředků i do harmonických prostorů s axiomem polarity. Věnujeme se taky abstraktnějšímu problému aproximace rozdíly zdola po- lospojitých funkcí v obecnějším kontextu binormálních topologických pros- torů.
In our dissertation we deal with the space H(K) of harmonic functions on a compact space in classical and abstract potential theory. Initially, we prove several equivalent characteristics of this space in classical potential theory. The internal characterization, which describes H(K) as a subspace of those continuous functions on a compact space K which are finely harmonic on the fine interior of K, is then used as the definition of H(K) in abstract potential theory. Further we concentrate on the solution of the Dirichlet problem for open and compact sets mainly with regards to its relation to subclasses of Baire class one functions. The results, proved at first in classical potential theory, are later generalized to abstract potential theory. With a use of more elemen- tary tools we initially prove these results in harmonic spaces with the axiom of dominance and, subsequently, using stronger tools we generalize them to harmonic spaces with the axiom of polarity. We engage also in a more abstract problem of approximation by differen- ces of lower semicontinuous functions in a more general context of binormal topological spaces.