Minimal counterexamples to flow conjectures

Abstract

Říkáme, že graf má nikde-nulový k-tok, pokud umíme každé hraně přiradit její směr a přirozené číslo (<k) jako tok tak, aby pro každý vrchol $v$ byl celkový přítok a odtok stejný. Tutte vyslovil v roce 1954 hypotézi, že každý graf bez mostů má nikde-nulový 5-tok, a tato hypotéza je stále otevřená. Kochol v nedávné práci představil výpočetní metodu na dokázání, že minimální protipříklad nemůže obsahovat krátkou kružnici (až do délky 10). V této práci poskytujeme ucelený přehled této metody a protože Kochol nezveřejnil svou implementaci (a pro nezávislé ověrení metody), doplňujeme náš zdrojový kód, ktorý potvrzuje Kocholovy výsledky a rozšiřuje je: dokázali jsme, že minimální protipříklad neobsahuje kružnici kratší než 12. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

We say that a~graph admits a~nowhere-zero k-flow if we can assign a~direction and a~positive integer (<k) as a~flow to each edge so that total in-flow into $v$ and total out-flow from $v$ are equal for each vertex $v$. In 1954, Tutte conjectured that every bridgeless graph admits a~nowhere-zero 5-flow and the conjecture is still open. Kochol in his recent papers introduces a~computational method how to prove that a~minimal counterexample cannot contain short circuits (up to length 10). In this Thesis, we provide a~comprehensive view on this method. Moreover, since Kochol does not share his implementation and in order to independently verify the method, we provide our source code that validates Kochol's results and extend them: we prove that any minimal counterexample to the conjecture does not contain any circuit of length less than 12. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)