Enumerace kompozic čísel se zakázanými vzory

Abstract

Enumeration of pattern avoiding compositions of numbers Abstract The aim of this work was to find some new results for 3-regular compositions, i.e., for those compositions which avoid the set of patterns {121, 212, 11}. Those compositions can be regarded as a generalization of Carlitz composition. Based on the generating function of compositions avoiding the set of patterns {121, 11} and {212, 11} we derive an upper bound for the coefficients of the power series of the generating function of 3-regular compositions. Using the theory of finite automata we derive its lower bound. We develop this result further by defining 3-block compositions. For the generating function of 3-regular compositions we prove a recursive ralation. Besides that we also compute the generating function of compositions avoiding the set of patterns {312, 321} whose parts are in the set [d]. In the last section we prove that the generating function of Carlitz compositions is transcendental.

Enumerace kompozic čísel se zakázanými vzory Abstrakt Tato práce si klade za cíl odvodit některé výsledky pro 3-regulární kompozice, tedy kompozice se zakázaným vzorem {121, 212, 11}, které jsou jistým zobecněním Carlitzových kompozic. Pomocí generujících funkcí příslušejících kompozicím se zakázanou množinou vzorů {121, 11} a {212, 11} počítáme horní asymptotický odhad koeficientů mocninného rozvoje generující funkce příslušející 3-regulárním kompozicím. S využitím teorie konečných automatů dostáváme také dolní odhad. Ten posléze zpřesňujeme na základě 3-blokových kompozic. Pro generující funkci příslušející 3- regulárním kompozicím se zvýrazněnou předposlední a poslední částí dokazujeme rekurzivní vztah. Kromě 3-regulárních kompozic a úloh, které s nimi přímo souvisejí, se zabýváme také kompozicemi s množinou zakázaných vzorů {312, 321} s částmi z konečné množiny [d], pro něž odvozujeme maticový tvar generující funkce. V závěru práce dokazujeme transcendentalitu generující funkce příslušející Carlitzovým kompozicím.